Álgebra Linear do NumPy

　 　 NumPy 线性代数的实例

numpy.dot()

numpy.dot() 对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

　　　numpy.dot(a,　b,　out=None)

参数说明：

a : ndarray 数组 b : ndarray 数组 out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果

　import numpy.matlib
　Exemplo
　import numpy as np1],[0,2b = np.array([[3],[0,4],[
　print('Matriz b: ')11],[0,12b = np.array([[13],[0,14],[
　print(np.dot(a,b))

A solução é:

　[[37　40]　
　[85　92]]

计算式为：

[[1*11+2*13],[0,　1*12+2*14b = np.array([[3*11+4*13],[0,　3*12+4*14]]

numpy.vdot()

numpy.vdot() 函数是两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，它会被展开。

　import numpy.matlib
　Exemplo
　import numpy as np1],[0,2b = np.array([[3],[0,4],[　
　print('Matriz b: ')11],[0,12b = np.array([[13],[0,14],[　
　　
　#　vdot　将数组展开计算内积
　print　(np.vdot(a,b))

A solução é:

　130

计算式为：

1*11　+　2*12　+　3*13　+　4*14　=　130

numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

　import numpy.matlib
　print　(np.inner(np.array([1],[0,2],[0,3]),np.array([0,1,0]])
　# equivalente a　1*0+2*1+3*0

A solução é:

　　　2

　Exemplo　
　import numpy as np1],[0,2], [3],[0,4],[　
　　
　,
　print('Array a: ')
　print('Matriz b: ')11],[0,　12], [13],[0,　14],[　
　　
　print('array b:')
　print(]]
　　
　print('produto escalar:')
　print(np.inner(a, b))

A solução é:

　Resultados de Saída:
　[[1　2]
　　[3　4]]
　array b:
　[[11　12]
　　[13　14]]
　produto escalar:
　[[35　41]
　　[81　95]]
　Resultados de Saída:
　[[1　2]
　　[3　4]]
　array b:
　[[11　12]
　　[13　14]]
　produto escalar:
　[[35　41]
　　[81　95]]

a expressão de cálculo do produto escalar é:

　1*11+2*12],[0,　1*13+2*14　
　3*11+4*12],[0,　3*13+4*14

numpy.matmul

A função numpy.matmul retorna o produto matricial de dois arrays. Embora ela retorne o produto normal de arrays bidimensionais, se a dimensão de qualquer parâmetro for maior que2e é considerado como uma pilha de matrizes existente nas últimas duas posições, realizando a correspondente broadcast.

Por outro lado, se algum parâmetro for um array unidimensional, ele é adicionado 1 para elevá-lo a uma matriz e ser removido após a multiplicação.

Para arrays bidimensionais, ele é a multiplicação matricial:

　import numpy.matlib　
　Exemplo　
　　
　a = [[1,0],[0,1]]　
　b = [[4],[0,1b = np.array([[2],[0,2]]　
　print(np.matmul(a, b))

A solução é:

　　　[[4　1]　
　　[2　2]]

operações bidimensionais e unidimensionais:

　import numpy.matlib　
　Exemplo　
　　
　a = [[1,0],[0,1]]　
　b = [1],[0,2]　
　print(np.matmul(a, b))
　print(np.matmul(b, a))

A solução é:

　[1　2]　
　[1　2]

arrays de dimensão maior que dois:

　import numpy.matlib　
　Exemplo　
　　
　a = np.arange(8).reshape(2],[0,2],[0,2)　
　b = np.arange(4).reshape(2],[0,2)　
　print(np.matmul(a, b))

A solução é:

　　　[[[　2　3]
　　　[　6　11]]
　　[[10　19]
　　　[14　27]]

numpy.linalg.det()

A função numpy.linalg.det() calcula o determinante da matriz fornecida.

O determinante é um valor muito útil na álgebra linear. Ele é calculado a partir dos elementos da diagonal da matriz. Para 2×2 matriz, que é a diferença do produto dos elementos superior esquerdo e inferior direito com o produto dos outros dois.

Ou seja, para a matriz [[a, b], [c, d]], o determinante é calculado como ad-bc. A matriz quadrada maior é considerada 2×2 composição de matrizes.

Exemplo
import numpy as np1],[0,2], [3],[0,4],[　
　　
print(np.linalg.det(a))

A solução é:

-2.0

　Exemplo
　　
　print('Matriz b: ')6],[0,1],[0,1], [4],[0,　-2],[0,　5], [2],[0,8],[0,7],[　
　print(]]
　print(np.linalg.det(b))
　print(6*(-2*7　-　5*8)　-　1*(4*7　-　5*2)　+　1*(4*8　-　-2*2))

A solução é:

　　　[[　6　1　1]
　　[　4　-2　5]
　　[　2　8　7]]
　-306.0
　-306

numpy.linalg.solve()

A função numpy.linalg.solve() fornece a solução da equação linear em forma matricial.

Considere a seguinte equação linear:

　x　+　y　+　z =　6
　2y　+　5z =　-4
　2x　+　5y　-　z =　27

Pode ser representada matematicamente como:

Se a matriz se tornar A, X e B, a equação se torna:

　AX = B
　ou
　X = A^(-1)B

numpy.linalg.inv()

A função numpy.linalg.inv() calcula a inversa multiplicativa da matriz.

Matriz inversa (inverse matrix)Definimos que A é uma matriz de ordem n em um campo de números, se existir outra matriz de ordem n, B, no mesmo campo de números, tal que: AB = BA = E, então chamamos B de inversa de A e A é chamada de matriz invertível. Nota: E é a matriz unitária.

　Exemplo　
　　
　]]1],[0,2b = np.array([[3],[0,4],[　
　x = np.array([[　
　x = np.linalg.solve(a, b)
　y = np.linalg.inv(x)
　print(y)

A solução é:

　[[1　2]
　　[3　4]]
　[[-2.　1print(np.dot(x, y))
　　[　1.5　-0.5]]
　[[1e+.　]+00 0.0000000e
　　[8.881784200]-16　1e+.0000000e

00]]

　Exemplo　
　　
　import numpy as np1],[0,1],[0,1a = np.array([[2],[0,5b = np.array([[2],[0,5],[0,-1],[　
　　
　,
　print('Array a: ')
　print(a)　
　　
　ainv = np.linalg.inv(a)
　print('Inversão de a: ')
　　
　print(ainv)
　print('Matriz b: ')6b = np.array([[-4b = np.array([[27],[　
　print(]]
　　
　print(b)-1print('Cálculo: A^(
　)B：')　
　x = np.linalg.solve(a, b)
　print(x)　5# Isso é a direção linear x =　3, y =　-2　, z =

A solução é:

　Resultados de Saída:
　[[　1　1　1]
　　Array a:　2　5]
　　[　2　5　-1]]
　Inversão de a: [ 0
　[[　1.28571429　-0.28571429　-0.14285714]
　　[-0.47619048　0.14285714　0.23809524]
　　[ 0.19047619　0.14285714　-0.0952381　]]
　Matriz b：
　[[　6]
　　[-4]
　　[27]]
　Cálculo: A^(-1)B：
　[[　5.]
　　[　3.]
　　[-2.]]

　　　x = np.dot(ainv, b)