MATLAB Integração (Integration)

o processo de integração lida com dois problemas essencialmente diferentes.

• No primeiro tipo, é fornecida a derivada da função, queremos encontrar a função. Portanto, nós invertemos fundamentalmente o processo de diferenciação. Este processo reverso é chamado de antidiferenciação, ou encontrar a função original, ou encontrarindefinite integral.

• O segundo tipo de problema envolve somar uma grande quantidade de pequenas quantidades, então, à medida que o tamanho das quantidades se aproxima de zero, tomar um limite, enquanto o número de itens tende ao infinito. A definição resultante desse processodefinite integral.

A integral definida é usada para encontrar áreas, volumes, centro de massa, momento de inércia, trabalho realizado por forças e muitas outras aplicações.

Usar o MATLAB para encontrar a integral indefinida

De acordo com a definição, se a derivada da função f(x) é f'(x), dizemos que a integral indefinida de f'(x) em relação a x é f(x). Por exemplo, devido a x ²a derivada (em relação a x) de2x, portanto, podemos dizer2a integral indefinida de x é x ².

no símbolo-

f'(x²) = 2xPortanto,

∫ 2xdx = x².

A integral indeterminada não é única, pois para qualquer valor da constante c, x ² + A derivada de c também será2x.

Isso é representado simbolicamente como-

∫ 2xdx = x² + c.

onde c é chamado de "constante arbitrária".

O MATLAB ofereceintO comando usado para calcular a integral de uma expressão. Para derivar a expressão da integral indeterminada de uma função, escrevemos:

int(f);

Por exemplo, a partir de nossos exemplos anteriores-

syms x　
int(2*x)

O MATLAB executa as seguintes instruções e retorna o seguinte resultado-

ans =
　　　x^2

Exemplo1

Neste exemplo, vamos encontrar a integral de algumas expressões comuns. Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

syms x n
int(sym(x^n))
f = 'sen(n*t)'
int(sym(f))
syms a t
int(a*cos(pi*t))
int(a^x)

Quando o arquivo é executado, ele mostra o seguinte resultado-

ans =
　　　piecewise([n ==　-1, log(x)], [n ~=　-1, x^(n　+　1)/(n　+　1)])
f =
sen(n*t)
ans =
　　　-cos(n*t)/n
　　　ans =
　　　(a*sen(pi*t))/pi
　　　ans =
　　　a^x/log(a)

Exemplo2

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

syms x n
int(cos(x))
int(exp(x))
int(log(x))
int(x^-1)
int(x^5*cos(5*x))
pretty(int(x^5*cos(5*x)))
int(x^-5)
int(sec(x)^2)
pretty(int(1　-　10*x　+　9　*　x^2))
int((3　+　5*x　-6*x^2　-　7*x^3)/2*x^2)
pretty(int((3　+　5*x　-6*x^2　-　7*x^3)/2*x^2))

Atenção,prettyA função retorna a expressão em um formato mais legível.

Quando o arquivo é executado, ele mostra o seguinte resultado-

ans =
　　　sen(x)
　
ans =
　　　exp(x)
　
ans =
　　　x*(log(x)　-　1)
　
ans =
　　　log(x)
　
ans =
(24*cos(5*x))/3125　+　(24*x*sin(5*x))/625　-　(12*x^2*cos(5*x))/125　+　(x^4*cos(5*x))/5　-　(4*x^3*sin(5*x))/25　+　(x^5*sin(5*x))/5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　4　
　　　24　cos(5　x)　　　24　x sen(5　x)　　　12　x     cos(5　x)      x     cos(5　x)　
　　　-----------　+　-------------　-　--------------　+　------------　
　　　　　　3125　　　　　　　　　　　　625　　　　　　　　　　　　　125　　　　　　　　　　　　　　5　
　　　
　　　　　　　　3　　　　　　　　　　　　　5　
　
　　　4　x     sen(5　x)      x     sen(5　x)　
　　　-------------　+　-----------　
　　　　　　　　　25　　　　　　　　　　　　　　5
　
ans =
-1/(4*x^4)
　
ans =
tan(x)
　　　　　　　　2　
　　x (3　x　　-　5　x　+　1)
　
ans =　
-　(7*x^6)/12　-　(3*x^5)/5　+　(5*x^4)/8　+　x^3/2
　
　　　　　　6　　　　　　5　　　　　　4　　　　3　
　　　　7　x　　　　3　x　　　　5　x      x　
　　-　----　-　----　+　----　+　--　
　　　　　12　　　　　5　　　　　　8　　　　　2

Usar o MATLAB para encontrar a integral definida

De acordo com a definição, a integral definida é basicamente o limite da soma. Usamos a integral definida para encontrar áreas, como a área entre a curva e o eixo x e a área entre duas curvas. Em outros casos, também pode ser usado a integral definida, onde a quantidade necessária pode ser representada como o limite da soma.

intPassando os limites da integral a ser calculada, a função pode ser usada para determinar a integral.

Calcular

Escrevemos:

int(x, a, b)

Por exemplo, para calcular um valor, escrevemos:

int(x,　4,　9)

O MATLAB executa as seguintes instruções e retorna o seguinte resultado-

ans =
　　　65/2

Aqui está o equivalente do Octave para o cálculo acima-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f = x;
c　=　[1, 0];
integral　=　polyint(c);
a　=　polyval(integral,　9)　-　polyval(integral,　4);
display('Área:　'),　disp(double(a));

O Octave executa o código e retorna o seguinte resultado-

Área:　
　　　32.500

Pode-se usar a função quad()fornecida pelo Octave para fornecer uma solução alternativa, conforme mostrado a seguir:

pkg　load　symbolic
symbols
f = inline("x");
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　4,　9);
display('Área:　'),　disp(double(a));

O Octave executa o código e retorna o seguinte resultado-

Área:　
　　　32.500

Exemplo1

Vamos calcular no eixo x e na curva y = x ³ -2x + 5e a coordenada纵y = x 1e x = 2A área envolvida entre eles.

A área necessária é dada pela seguinte fórmula:

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

f　=　x^3　-　2*x　+5;
a　=　int(f,　1,　2)
display('Área:　'),　disp(double(a));

Quando o arquivo é executado, ele mostra o seguinte resultado-

a　=
23/4
Área:　
　　　5.7500

Aqui está o equivalente do Octave para o cálculo acima-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　x^3　-　2*x　+5;
c　=　[1,　0,　-2,　5];
integral　=　polyint(c);
a　=　polyval(integral,　2)　-　polyval(integral,　1);
display('Área:　'),　disp(double(a));

O Octave executa o código e retorna o seguinte resultado-

Área:　
　　　5.7500

Pode-se usar a função quad()fornecida pelo Octave para fornecer uma solução alternativa, conforme mostrado a seguir:

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　inline("x^3　-　2*x　+5");
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　1,　2);
display('Área:　'),　disp(double(a));

O Octave executa o código e retorna o seguinte resultado-

Área:　
　　　5.7500

Exemplo2

Encontre a área sob a curva:　f(x)= x ² cos(x)representa−4≤x≤9.

Crie um arquivo de script e escreva o seguinte código-

f　=　x^2*cos(x);
ezplot(f,　[-4,9])
a　=　int(f,　-4,　9)
disp('Área:　'),　disp(double(a));

Quando o arquivo é executado, o MATLAB desenha o gráfico-

A saída é a seguinte-

a　=　
8*cos(4)　+　18*cos(9)　+　14*sin(4)　+　79*sin(9)
　
Área:　
　　　0.3326

Aqui está o equivalente do Octave para o cálculo acima-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　inline("x^2*cos(x)");
ezplot(f,　[-4,9])
print　-deps　graph.eps
[a,　ierror,　nfneval]　=　quad(f,　-4,　9);
display('Área:　'),　disp(double(a));