Diferenciação do MATLAB

Resolver equações diferenciaisdiffO comando usado para calcular a derivada simbólica é. Em sua forma mais simples, a função a ser diferenciada é passada como parâmetro para o comando diff.

Por exemplo, vamos calcular a derivada da função f(t) = 3t ² + 2t ^-2

Exemplo online

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

syms t
f =　3*t^2　+　2*t^(-2);
diff(f)

Após compilar e executar o código acima, será gerado o seguinte resultado-

ans　=
6*t　-　4/t^3

A seguir está o equivalente ao cálculo do Octave mencionado-

pkg load symbolic
symbols
t = sym("t");
f =　3*t^2　+　2*t^(-2);
differentiate(f,t)

O código executado pelo Octave e o resultado retornado são os seguintes-

ans　=
　　　-(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

Verificação da identificação das regras básicas

Vamos esclarecer brevemente várias equações ou regras usadas para a difusão e verificar essas regras. Para isso, escreveremos f'(x) para o primeiro derivado e f“(x) para o segundo derivado.

A seguir estão as regras de distinção-

Regra1

para qualquer função f e g e qualquer número real a e b é a derivada dessa função-

h(x) = af(x) + bg(x) em relação a x por-

h'(x) = af'(x) + bg'(x)

Regra dois

sumesubtractionA regra indica que se f e g são duas funções, f’ e g’ são respectivamente suas derivadas, então

（f + g)' = f' + g'

(f - g)' = f' - g'

Regra três

productA regra indica que se f e g são duas funções, então f' e g' são respectivamente suas derivadas, então

(f.g)' = f'.g + g'.f

Regra quatro

quotientA regra indica que se f e g são duas funções, então f' e g' são respectivamente suas derivadas, então

(f/g)' = (f'.g - g'.f)/g²

Regra cinco

polynomialou a regra básica da potência especifica, se, entãoy = f(x) = xⁿf' = n. x^(n-1)

O resultado direto dessa regra é que a derivada de qualquer constante é zero, ou seja, sey = kqualquer constante, então

f' = 0

Regra seis

chainA regra indica que a derivada de uma função de função em relação a x é:h(x) = f(g(x))

h'(x) = f'(g(x)).g'(x)

Exemplo

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

syms x
syms t
f = (x　+　2)*(x^2　+　3)
der1　= diff(f)
f = (t^2　+　3)*(sqrt(t)　+　t^3)
der2　= diff(f)
f = (x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)
der3　= diff(f)
f = (2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)
der4　= diff(f)
f = (x^2　+　1))17
der5　= diff(f)
f = (t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9))^(-6)
der6　= diff(f)

Ao executar o arquivo, o MATLAB exibe o seguinte resultado-

f =
　　　(x^2　+　3)*(x　+　2)
　
　　　der1　=
　　　2*x*(x　+　2)　+　x^2　+　3
　　
f =
　　　(t^(1/2)　+　t^3)*(t^2　+　3)
　
　　　der2　=
　　　(t^2　+　3)*(3*t^2　+　1/(2*t^(1/2))　+　2*t*(t^(1/2)　+　t^3)
　　
f =
　　　(x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)
　　
der3　=
　　　(2*x　-　2)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)　-　(-　9*x^2　+　10*x)*(x^2　-　2*x　+　1)
　
f =
　　　(2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)
　　
der4　=
　　　(4*x　+　3)/(x^3　+　1)　-　(3*x^2*(2*x^2　+　3*x))/(x^3　+　1))2
　　
f =
　　　(x^2　+　1))17
　　
der5　=
　　　34*x*(x^2　+　1))16
　　
f =
　　　1/(t^3　+　3*t^2　+　5*t　-　9))6
　　
der6　=
　　　-(6*(3*t^2　+　6*t　+　5))/(t^3　+　3*t^2　+　5*t　-　9))7

A seguir está o equivalente ao cálculo do Octave mencionado-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
t = sym("t");
f = (x　+　2)*(x^2　+　3)　
der1　= differentiate(f,x)　
f = (t^2　+　3)*(t^(1/2)　+　t^3)　
der2　= differentiate(f,t)　
f = (x^2　-　2*x　+　1)*(3*x^3　-　5*x^2　+　2)　
der3　= differentiate(f,x)　
f = (2*x^2　+　3*x)/(x^3　+　1)　
der4　= differentiate(f,x)　
f = (x^2　+　1))17　
der5　= differentiate(f,x)　
f = (t^3　+　3*　t^2　+　5*t　-9))^(-6)　
der6　= differentiate(f,t)

O código executado pelo Octave e o resultado retornado são os seguintes-

f =
(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1　=
3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =
(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2　=
(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =
(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3　=
(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =
(1.0+x^(3.0)^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4　=
(1.0+x^(3.0)^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0)^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =
(1.0+x^(2.0)^(17.0)
der5　=
(34.0)*(1.0+x^(2.0)^(16.0)*x
f =
(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6　=
-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

Derivadas das funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas

A tabela a seguir fornece as derivadas comuns das funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas-

Exemplo

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

syms x
y = exp(x)
diff(y)
y = x^9
diff(y)
y = sin(x)
diff(y)
y = tan(x)
diff(y)
y = cos(x)
diff(y)
y = log(x)
diff(y)
y = log10(x)
diff(y)
y = sin(x)^2
diff(y)
y = cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
diff(y)
y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

Ao executar o arquivo, o MATLAB exibe o seguinte resultado-

y =
　　　exp(x)
　　　ans　=
　　　exp(x)
y =
　　　x^9
　　　ans　=
　　　9*x^8
　　
y =
　　　sin(x)
　　　ans　=
　　　cos(x)
　　
y =
　　　tan(x)
　　　ans　=
　　　tan(x)^2　+　1
　
y =
　　　cos(x)
　　　ans　=
　　　-sin(x)
　　
y =
　　　log(x)
　　　ans　=
　　　1/x
　　
y =
　　　log(x)/log(10)
　　　ans　=
　　　1/(x*log(10))
　
y =
　　　sin(x)^2
　　　ans　=
　　　2*cos(x)*sin(x)
　
y =
　　　cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
　　　ans　=
　　　-sin(3*x^2　+　2*x　+　1)*(6*x　+　2)
　　
y =
　　　exp(x)/sin(x)
　　　ans　=
　　　exp(x)/sin(x)　-　(exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

A seguir está o equivalente ao cálculo do Octave mencionado-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y, x)
y = x^9
differentiate(y, x)
y = Sin(x)
differentiate(y, x)
y = Tan(x)
differentiate(y, x)
y = Cos(x)
differentiate(y, x)
y = Log(x)
differentiate(y, x)
% O pacote simbólico não suporta esta função
%y = Log10(x)
%differentiate(y, x)
y = Sin(x)^2
differentiate(y, x)
y = Cos(3*x^2　+　2*x　+　1)
differentiate(y, x)
y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y, x)

O código executado pelo Octave e o resultado retornado são os seguintes-

y =
exp(x)
ans　=
exp(x)
y =
x^(9.0)
ans　=
(9.0)*x^(8.0)
y =
sin(x)
ans　=
cos(x)
y =
tan(x)
ans　=
1+tan(x)^2
y =
cos(x)
ans　=
-sin(x)
y =
log(x)
ans　=
x^(-1)
y =
sin(x)^(2.0)
ans　=
(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =
cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans　=
-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =
sin(x)^(-1)*exp(x)
ans　=
sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

Calcular derivado de ordem superior

Para calcular o derivado de ordem superior da função f, usamos a sintaxediff(f, n)。

Vamos calcular o segundo derivado da função y = f(x) = x.e ^-3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f,　2)

O MATLAB executa o código e retorna o seguinte resultado-

ans　=
9*x*exp(-3*x)　-　6*exp(-3*x)

A seguir está o equivalente ao cálculo do Octave mencionado-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x,　2)

O código executado pelo Octave e o resultado retornado são os seguintes-

ans　=
(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

Exemplo

Neste exemplo, vamos resolver um problema. Dada uma função. Teremos que determinar se a equação é válida.y = f(x) = 3 sin(x) + 7 cos(5x)f" + f = -5cos(2x)

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

syms x
y =　3*sin(x)+7*cos(5*x); % definindo a função
lhs = diff(y,2)+y; % avaliando o lhs da equação
rhs =　-5*cos(2*x); % rhs da equação
if(isequal(lhs,rhs))
　　　disp('Sim, a equação é verdadeira');
else
　　　disp('Não, a equação não é verdadeira');
end
disp('O valor do LHS é: '), disp(lhs);

Ao executar o arquivo, ele exibe o seguinte resultado-

Não, a equação não é verdadeira
O valor do LHS é:　
-168*cos(5*x)

A seguir está o equivalente ao cálculo do Octave mencionado-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y =　3*Sin(x)+7*Cos(5*x); % 定义函数
lhs = differentiate(y, x,　2)　+　y; % 计算方程 lhs
rhs =　-5*Cos(2*x); % 方程式 rhs
if(lhs == rhs)
　　　disp('Sim, a equação é verdadeira');
else
　　　disp('Não, a equação não é verdadeira');
end
disp('O valor do LHS é: '), disp(lhs);

O código executado pelo Octave e o resultado retornado são os seguintes-

Não, a equação não é verdadeira
O valor do LHS é:　
-(168.0)*cos((5.0)*x)

Encontrar o máximo e o mínimo da curva

Se você quiser procurar máximos locais e mínimos locais no gráfico, é basicamente procurar o ponto mais alto ou mais baixo em um intervalo específico de valores de variáveis simbólicas específicos no gráfico da função.

Para a função y = f(x), os pontos no gráfico com inclinação zero são chamadospontos estáveis(ponto de estacionamento/Ponto crítico). Em outras palavras, o ponto fixo é f'(x) = 0.

Para encontrar o ponto estacionário da função que diferenciamos, precisamos definir a derivada como zero e resolver a equação.

Exemplo

Vamos encontrar o ponto fixo da função f(x) = 2x ³ + 3x ² − 12x + 17

Tomar os seguintes passos-

Primeiro vamos entrar na função e desenhar seu gráfico.

syms x
y =　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17; % definindo a função
ezplot(y)

O código executado pelo MATLAB e o gráfico retornado são os seguintes-

Este é o código equivalente ao Octave mencionado acima-

pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17");
ezplot(y)
print　-deps graph.eps

Nosso objetivo é encontrar alguns máximos locais e mínimos locais no gráfico, então vamos encontrar o intervalo [-2,2] para encontrar o máximo local e o mínimo local.

syms x
y =　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17; % definindo a função
ezplot(y, [-2,　2])

O código executado pelo MATLAB e o gráfico retornado são os seguintes-

Este é o código equivalente ao Octave mencionado acima-

pkg load symbolic
symbols
x = sym('x');
y = inline("2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17");
ezplot(y, [-2,　2])
print　-deps graph.eps

A seguir, vamos calcular a derivada.

g = diff(y)

O MATLAB executa o código e retorna o seguinte resultado-

g =
　　　6*x^2　+　6*x　-　12

Isso é a oitava repetida do cálculo mencionado acima-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y =　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g = differentiate(y, x)

O código executado pelo Octave e o resultado retornado são os seguintes-

g =
　　　-12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

Vamos resolver a função derivada g, para obter o valor em que ela se torna zero.

s = solve(g)

O MATLAB executa o código e retorna o seguinte resultado-

s　=
　　　1
　　　-2

A seguir está o equivalente ao cálculo do Octave mencionado-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y =　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g = differentiate(y, x)
roots([6,　6,　-12])

O código executado pelo Octave e o resultado retornado são os seguintes-

g =
-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans　=
　　-2
　　　1

Isso está de acordo com nosso gráfico, então vamos no ponto crítico x = 1,-2para calcular a função f.

subs(y,　1), subs(y,　-2)

O MATLAB executa o código e retorna o seguinte resultado-

ans　=
　　　10
ans　=
　　　37

A seguir está o equivalente ao cálculo do Octave mencionado-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
y =　2*x^3　+　3*x^2　-　12*x　+　17;
g = differentiate(y, x)
roots([6,　6,　-12])
subs(y, x,　1), subs(y, x,　-2)

ans　=
　　　10.0
ans　=
　　　37.0-4.6734207789940138748E-18*I

Portanto, o valor mínimo e máximo da função f(x) é = 2x ³ + 3x ² − 12x + 17em-2,2no intervalo de10e37。

e

Resolver equações diferenciaisUsado para resolver equações diferenciais simbólicas.O MATLAB oferece

Usado para resolver equações diferenciais simbólicas.dsolve

A forma mais básica do comando para encontrar a solução de uma única equação é

dsolve('eqn')ondeÉ uma string de texto usada para inserir equações. eqn

Ele retorna uma solução simbólica com um conjunto de constantes arbitrárias, que o MATLAB marca como C1，C2等。

Você também pode especificar as condições iniciais e as condições de contorno do problema como uma lista separada por vírgulas após a equação-

dsolve('eqn','cond1',　'cond2',…)

Para o propósito de uso do comando dsolve, os derivados são representados por D. Por exemplo, como f'(t)= -2 * f +A entrada da equação cost(t) deve ser-

'Df = -2*f + cos(t)'

Derivações de ordem superior são representadas pela ordem das derivadas após D. Por exemplo,

Por exemplo, a equação f“(x)+ 2f'(x)= 5sin3x deve ser introduzido como-

'D2y + 2Dy = 5*sin(3*x)'

Vamos considerar um exemplo simples de equação diferencial de primeiro grau: y'= 5y。

s　=　dsolve('Dy　=　5*y')

O MATLAB executa o código e retorna o seguinte resultado-

s　=
　　　C2*exp(5*t)

Vamos considerar outro exemplo de equação diferencial de segundo grau: y“-y = 0，y= -1，y'= 2。

dsolve('D2y　-　y　=　0','y(0)　=　-1','Dy(0)　=　2)

O MATLAB executa o código e retorna o seguinte resultado-

ans　=
　　　exp(t)/2　-　(3*exp(-t))/2