Cálculo Diferencial e Integral do MATLAB

O MATLAB oferece várias métodos para resolver problemas de diferenciação e integração, resolver equações diferenciais de qualquer grau e calcular limites. O mais importante é que você pode resolver gráficos de funções complexas de forma fácil e verificar os pontos máximos, mínimos e outros pontos importantes no gráfico através da solução da função original e sua derivada.

Este capítulo discutirá os problemas do cálculo. Neste capítulo, discutiremos o conceito de pré-calculo, ou seja, calcular os limites das funções e verificar as propriedades dos limites.

No próximo capítulo, onde falaremos sobre derivadas, calcularemos o derivada de uma expressão e encontraremos os valores locais máximos e mínimos do gráfico. Também discutiremos a solução de equações diferenciais.

Por fim, no capítulo seguinte sobre derivadas, calcularemos o derivada de uma expressão e encontraremos os valores locais máximos e mínimos do gráfico. Também discutiremos a solução de equações diferenciais.IntegraisNo capítulo sobre cálculo integral, discutiremos.

Calcular o limite

O MATLAB oferecelimitA função usada para calcular o limite.limitA função usa a forma mais básica da expressão como parâmetro e encontra o limite da expressão quando o variável se torna zero.

Por exemplo, vamos calcular o limite da função f(x) = (x ³ + 5)/(x ⁴ + 7)

syms x
limit((x^3　+　5)/(x^4　+　7))

O MATLAB executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado-

ans =
　　　5/7

As funções de limite pertencem ao domínio do cálculo simbólico. Você precisa usarsymsA função para informar o MATLAB quais variáveis simbólicas você está usando. Você também pode calcular o limite da função, porque a variável tende a algum número diferente de zero. Para calcular lim _{x-> a})(f(x)), usamos o comando limit com parâmetros. O primeiro é a expressão, o segundo éxA aproximação numérica, aqui estáa.

Por exemplo, vamos calcular o limite da função f(x) = (x-3)/(x-1), porque x tende a1.

limit((x　-　3)/(x-1,1)

O MATLAB executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado-

ans =
　　　NaN

Vamos dar outro exemplo

limit(x^2　+　5,　3)

O MATLAB executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado-

ans =
　　　14

Calcule o limite usando o Octave

A seguir está usandosymbolicA versão do Octave do exemplo acima do pacote, tente executá-lo e comparar os resultados-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7)

Octave executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado-

ans =
　　　0.7142857142857142857

Verificação das propriedades básicas do limite

O teorema de limite algebraico fornece algumas propriedades básicas do limite. Aqui estão-

Vamos olhar para duas funções-

• f(x) = (3x + 5)/(x-3)

• g(x) = x ² +1.

Vamos calcular os limites das duas funções quando x tende a5Calcula a derivada da função e usa essas duas funções para verificar as propriedades básicas da derivada usando o MATLAB.

Exemplo

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

syms x
f = (3*x　+　5)/(x-3]);
g = x^2　+　1;
l1　= limit(f,　4)
l2　= limit (g,　4)
lAdd = limit(f　+　g,　4)
lSub = limit(f　-　g,　4)
lMult = limit(f*g,　4)
lDiv = limit (f/g,　4)

Quando o arquivo é executado, ele exibe-

l1　=
　　　17
　　
l2　=
　　　17
　　
lAdd　=
　　　34
　
lSub　=
　　　0
　　
lMult　=
　　　289
　　
lDiv　=
　　　1

Verifique as propriedades básicas da derivada usando o Octave

A seguir está usandosymbolicA versão do Octave do exemplo acima do pacote, tente executá-lo e comparar os resultados-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = (3*x　+　5)/(x-3]);
g = x^2　+　1;
l1　= subs(f, x,　4)
l2　= subs (g, x,　4)
lAdd = subs (f+g, x,　4)
lSub = subs (f-g, x,　4)
lMult = subs (f*g, x,　4)
lDiv = subs (f/g, x,　4)

Octave executará a instrução acima e retornará o seguinte resultado-

l1　=
　　　17.0
l2　=
　　　17.0
lAdd　=
　　　34.0
lSub　=
　　　0.0
lMult　=
　　　289.0
lDiv　=
　　　1.0

Limites Esquerdo e Direito

Quando a função tem uma discontinuidade para um valor específico da variável, não existe limite. Em outras palavras, a limitação da função f(x) em x = a tem uma discontinuidade, porque quando x se aproxima de x a partir da esquerda, o valor do limite não é igual ao valor do limite quando x se aproxima de x a partir da direita.

Isso leva ao conceito de limite esquerdo e direito. O limite esquerdo é definido como o limite começando da esquerda de x, ou seja, x-> a, ou seja, quando x se aproxima de a, os valores de x< a. O limite direito é definido como x começando da direita-> A limitação de a, ou seja, para os valores de x> a, x se aproxima de a. Quando o limite esquerdo e o limite direito não são iguais, o limite não existe.

Vamos olhar para uma função-

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Vamos mostrar lim _{x-> 3} f(x) não existe. O MATLAB nos ajuda a estabelecer isso de duas maneiras-

• Desenhando o gráfico da função e mostrando a discontinuidade.

• Calculando os limites e mostrando que eles são diferentes.

Os limites esquerdo e direito são calculados passando as strings 'left' e 'right' como o último parâmetro da função limit.

Exemplo

Crie um arquivo de script e insira o seguinte código-

f　=　(x　-　3)/abs(x-3]);
ezplot(f,[-1,5])
l　=　limit(f,x,3,'left')
r　=　limit(f,x,3,'right')

Quando o arquivo é executado, o MATLAB desenha o seguinte gráfico

Mostrar saída após a execução do arquivo-

l　=　limit(f,x,
　　　-1
　　
r　=　limit(f,x,
　　　1